Beschreibung von Verfahren
In den Pflichtteilen wird zuweilen gefordert, irgendeine Art von Verfahren zu beschreiben.
Beliebt sind hierbei u.a. die verschiedenen Verfahren bei den Spiegelungen.
Wir beschreiben diese Verfahren nun verbal ohne konkrete Berechnungen.
Spiegelung Punkt an Gerade
Voraussetzung: Der zu spiegelnde Punkt A darf nicht selbst auf der Geraden liegen!
Test: Setzen Sie die Koordinaten von A in die Geradengleichung für g ein.
Falls sich ein Widerspruch ergibt, liegt A nicht auf g und kann gespiegelt werden.
Das Verfahren
- Bilde eine Hilfsebene H die A enthält und senkrecht zu g steht.
Für H verwende z.B. die Koordinatenform H: ax1+bx2+cx3=d.
Der Richtungsvektor von g ist dabei der Normalenvektor von H.
Einsetzen des Stützvektors von g in H liefert d.
- Bestimme den Schnittpunkt F von g mit H.
- Mit Hilfe des Verbindungsvektors von F nach A erhalten Sie dann den Spiegelpunkt A'.
Formal:
.
Spiegelung Punkt an Ebene
Voraussetzung: Der zu spiegelnde Punkt A darf nicht auf der Ebene E liegen.
Das Verfahren
- Bestimme die Gerade g durch den Punkt A und senkrecht zu E.
Verwende den Stützvektor der Ebene als Stützvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor.
- Ermittle den Schnittpunkt S von g mit E.
- Die Koordinaten des Spiegelpunkts A' ergeben sich aus
.
Spiegelung Gerade an Ebene
Fall 1: Die Gerade g liegt komplett in E.
In dem Fall gibt es nichts zu spiegeln.
Sie können dies feststellen, indem Sie zwei verschiedene Punkte, z.B. den Stützvektor von g und einen beliebigen anderen Punkt in E einsetzen.
Falls in beiden Fällen die Ebenengleichung erfüllt ist, liegt g vollständig in E.
Fall 2: g geht senkrecht durch E.
Auch hier gibt es nichts zu spiegeln.
Ob g senkrecht zu E steht, erkennen Sie daran, dass der Richtungsvektor von g und der Normalenvektor von E linear abhängig sind, d.h. dass sie Vielfache voneinander sind.
Fall 3: g ist parallel zu E.
Mit dem vorher beschriebenen Verfahren spiegeln Sie einfach zwei beliebige Punkte A und B von g an E und erhalten so die Spiegelpunkte A' und B'.
Mit diesen beiden Punkten stellen Sie nun die Geradengleichung auf und erhalten somit die Spiegelgerade.
Fall 4: g schneidet E (aber nicht senkrecht).
Bestimme den Schnittpunkt S von g mit E.
Mit dem oben beschriebenen Verfahren spiegeln Sie einen beliebigen Punkt P von g, z.B. den durch den Stützvektor beschriebenen Punkt, an E und erhalten den Spiegelpunkt P'.
Aufstellen der Geradengleichung durch S und P' liefert dann die Spiegelgerade.
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